Introdução

20% dos artigos da American Economic Review entre 2010 e 2012 estimam o efeito tratamento utilizando regressões com efeitos fixos de período e grupo (Chaisemartin and D’Haultfoeuille 2020) na forma da equação:

\[ Y_{g,t} = \lambda_g + \lambda_t + \beta D_{g,t}+\epsilon_{g,t} \]

Na literatura, essa abordagem é comumente chamada de Two-Way Fixed Effects (TWFE) e quando a hipótese da tendências paralelas é válida e o efeito tratamento (ET) de todas as unidades é uma constante \(\delta\), então podemos assumir que \(\beta = \delta\).

Contudo, é muito improvável que o efeito tratamento seja constante para a maior parte dos cenários de pesquisa imaginados. Nesta situação de ET heterogêneos, o \(\beta\) de TWFE se torna potencialmente inválido.

Nos últimos anos, surgiram uma enxurrada de artigos que discutem este problema e apresentam diferentes soluções para o problema. Entre eles o artigo de Two-Way Fixed Effects Estimators with Heterogeneous Treatment Effects de Chaisemartin and D’Haultfoeuille (2020). No paper, os autores mostram como o estimador de TWFE nestes casos é uma soma ponderada de efeitos tratamentos para cada grupo e período, e que alguns dos pesos são negativos. Em casos extremos, o coeficiente estimado por TWFE poderia ser negativo mesmo quando todos os efeitos tratamentos médios individuais fossem positivos.

Os autores propõem um estimador que potencialmente corrige esses problemas. Este estimador está implementado tanto no Stata quando no R (no pacote DIDmultiplegt).

Os autores argumentam que se não assumirmos efeito tratamento constante, o coeficiente obtido por meio do TWFE deve representar uma soma ponderada dos vários efeitos tratamentos médios (EFT):

\[\beta = E \left[ \sum_{g,t} W_{g,t} TE_{g,t} \right]\]

onde \(W_{g,t}\) são pesos que devem somar a unidade e \(TE\) é o efeito tratamento no grupo \(g\) e no período \(t\). Estes pesos \(W_{g,t}\) são diferentes da proporção de unidades na célula \((g,t)\) específica, o que torna este \(\beta\) diferente do efeito tratamento médio (ETM).

E mais preocupante, algum desses pesos são negativos. De modo que \(\beta\) pode ser estritamente negativo mesmo quando todos os \(TE_{g,t}\) são positivos.

Exemplo: Se \(ET_1 = 1\) e \(ET_2 = 3\) e seus pesos forem \(W_1 = 2\) e \(W_2 = -1\), teriamos:

\[\beta = 2 \times 1 - 1 \times 3 = -1\] # Exemplo da Presença de Pesos Negativos

Como robustez é importante computar os pesos ligados ao \(\beta\) estimado. Se todos os pesos ou a maioria deles for maior que zero, não haveria maiores problemas em continuar estimando o TWFE; mas se muitos pesos forem menores que zero, então pode existir a preocupação de que o efeito tratamento pode ser heterogêneo entre grupos e períodos.

Para demonstrar a presença de pesos negativos, os autores utilizam dados de Vella and Verbeek (1998), que contém informações para 4360 indivíduos durante os anos de 1980 e 1987. No artigo original, os autores estavam interessados em investigar se jovens trabalhadores ganhavam um premium salarial por estarem sindicalizados.

Para estimar os pesos, vamos utilizar a função twowayfeweights presente no pacote TwoWayFEWeights do R:

# devtools::install_github("shuo-zhang-ucsb/twowayfeweights")

needs::needs(wooldridge, TwoWayFEWeights, tidyverse)

Y = "lwage"
G = "nr"
T = "year"
D = "union"
controls = c("hours")
weights <- twowayfeweights(wagepan, Y, G, T, D, 
                           cmd_type = "feTR", controls = controls)

## [1] "Under the common trends assumption, "
## [1] "beta estimates a weighted sum of 1064 ATTs."
## [1] "875 ATT receive a positive weight, and 189 receive a negative weight."
## [1] "The sum of the positive weights is equal to 1.005601."
## [1] "The sum of the negative weights is equal to -0.005601."
## [1] "beta is compatible with a DGP where the average of those ATT is equal to 0,"
## [1] "while their standard deviation is equal to 0.087235."
## [1] "beta is compatible with a DGP where those ATT all are of a different sign than beta,"
## [1] "while their standard deviation is equal to 4.413974."

weights |>  
  arrange(desc(weight)) |>  
  mutate(weight_negative = ifelse(weight < 0, "Sim", "Não")) |> 
  group_by(weight_negative) |>
  summarise(n = n()) |> 
  #head() |>  
  knitr::kable(col.names = c("Pesos Negativos?", "N"))

A tabela acima apresenta os pesos estimados. Percebemos que dos efeitos tratamentos sobre o tratado (ETT) estimados, 189 possuem pesos negativos, um número considerável, e que pode levar a preocupações sobre as estimativas obtidas na época.

De onde vem estes pesos negativos?

Segundo os autores, estes pesos negativos nasceriam da presença de heterogeneidades no ET entre grupos e entre períodos. Especificamente, elas surgiriam a partir de dois tipos de comparações proibidas/indesejadas/impróprias feitas pelo estimador de TWFE. Vamos analisa-las uma a uma:

Como solucionar o problema?

Em Chaisemartin and D’Haultfoeuille (2020), os autores propõem um estimador alternativo disponível no pacote DIDmultiplegt. A discussão sobre o pacote ficará para uma postagem futura.